Weth stammt aus Grafenrheinfeld. Nach dem Besuch des Gymnasiums der Benediktiner in Münsterschwarzach und dem Abitur am Alten Gymnasiumin Würzburg vom Internat der Benediktiner aus studierte er Theologie. Am 5. März 1961 empfing Weth in Würzburg die Priesterweihe. Als Kaplan war er in Kleinwallstadt, Amorbach, Würzburg-Unsere Liebe Frau und Aschaffenburg-Herz Jesu. 1967 übernahm er die Kuratie Ruppertshütten. 1975 wurde Weth Pfarrer von Nordheim/Rhön mit Heufurt und Sondheim/Rhön. 1980 wurde er zusätzlich Pfarrer von Hausen/Rhön mit Roth. Von 1979 bis 1985 bekleidete er auch das Amt des stellvertretenden Dekans für das Dekanat Rhön-Grabfeld. Von 1985 bis 2005 war er Dekan des Dekanats Rhön-Grabfeld. 1999 übernahm er zusätzlich das Amt des Kuratus von Neustädtles. Zeitweise wirkte er bereits Jahre zuvor in Neustädtles und auch in Ostheim vor der Rhön. Weth engagierte sich darüber hinaus viele Jahre als Vorsitzender des Trägervereins der Sozialstation Sankt Kilian in Mellrichstadt. Er leitete den Pfarrverband „Obere Rhön“ bis zu seiner Versetzung in den Ruhestand im Jahr 2006. Seither lebt Weth in Grafenrheinfeld und hat seit 2007 einen Seelsorgsauftrag für das Seniorenheim Sankt Helena.
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