Fleischmann wurde 1928 in Weichtungen geboren. In Würzburg besuchte er das damalige Alte Gymnasium und wohnte im Bischöflichen Seminar Kilianeum. Der Zweite Weltkrieg unterbrach seine Ausbildung: Von 1944 bis 1945 war der damals 16‑Jährige als Luftwaffenhelfer in Ostpreußen und Schweinfurt eingesetzt. Nach der Priesterweihe am 30. November 1952 in Würzburg durch Bischof Dr. Julius Döpfner war Fleischmann Kaplan in Krombach, Wörth und Laufach, bevor er 1955 Kuratus in Reistenhausen wurde. Seine erste Pfarrstelle trat er 1959 in Schwärzelbach an, 1969 wechselte er als Pfarrer nach Trappstadt. Bis 1978 war Fleischmann zusätzlich nebenamtlicher Verweser der Pfarrei Sternberg mit den Filialen Zimmerau und Sulzdorf. 1981 wurde er zum Pfarrer von Mechenried ernannt. Zusätzlich war Fleischmann Kuratus von Humprechtshausen und Kleinmünster sowie Betreuer der Filiale Kreuzthal der Pfarrei Marktsteinach. Von 1982 bis 1985 war er auch Dekanatsbeauftragter für Priesterfortbildung und theologische Erwachsenenbildung im Dekanat Haßfurt. Ab 1999 verbrachte Fleischmann seinen Ruhestand in Seubrigshausen bei Münnerstadt. Seit 2021 lebt er im Seniorenzentrum Sankt Elisabeth in Münnerstadt.
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